Eigenvector, Eigenvalue 계산법
아래의 식에서, $A$는 행렬(matrix), $\lambda$는 value, $\vec{v}$는 vector.
$A\vec{v} = \lambda\vec{v} = \lambda I\vec{v}$
$A\vec{v}-\lambda I\vec{v} = (A-\lambda I)\vec{v} = 0$
$\therefore A-\lambda I = 0$ or
$\vec{v} = 0$ or
$(A-\lambda I)^{-1}$ does not exist.
⇒ (3rd)
$det(A - \lambda I) = 0$
** 여기서 $(A-\lambda I)^{-1}$가 존재하지 않는다는 것은, $(A-\lambda I)$이 가역행렬이 아님(역행렬이 존재하지 않음)을 의미한다.
역행렬이 존재하기 위해서는 det(행렬식)이 0이 아니어야 한다.
따라서, $(A-\lambda I)$가 가역행렬이 아니라는 것은 $det(A-\lambda I)=0$임을 의미한다.
+ 첫 번째 조건인 $(A-\lambda I)=0$, 두 번째 조건인 $\vec{v}$ = 0은 큰 의미를 가지지 않으므로, 생략한다.
Eigenvector, Eigenvalue의 physical meaning.
$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$
여기서 행렬 $A$는 linear transformation(선형 변환)을 뜻하는 행렬이다.
그러한 matrix $A$에 대한 eigenvector, eigenvalue의 의미는,
matrix $A$에 의한 선형변환 이후에도 방향이 유지되는 어떤 특정한 vector와, 그 때의 value인 것이다.
하나하나 뜯어서 다시 생각해 보자.
$A\vec{v}$ ⇒ $\vec{v}$를 $A$라는 matrix로 linearly transform 시킨 vector.
(선형 변환 - 회전변환 및 늘리기, 투영 등을 거쳤으므로, 일반적으로 $\vec{v}$와는 방향이 달라진다.)
$\lambda\vec{v}$ ⇒ $\vec{v}$를 $\lambda$라는 value로 strech시킨 vector. (늘리거나 줄이기만 했으므로, $\vec{v}$와 동일한 방향을 갖는다.)
위와 같은 의미인 것이다.
이 때 eigenvector는, 수많은 $\vec{v}$ 중에서 matrix $A$로 인해 선형변환 된 이후에도 원래의 방향성을 유지할 수 있는 $\vec{v}$를 의미하는 것이다. (또한 eigenvalue는, 선형변환 이후 얼마나 strech되었는지를 나타내는 값인 것이다. - 방향성이 동일하므로 strech만으로도 동일한 vector를 만들어낼 수 있기 때문.)
한 마디로, matrix $A$라는 linear transformation에 의해 방향성이 변하지 않는 vector를 찾는 것.
그러한 vector가 eigenvector이고, 이 때의 strech되는 value가 eigenvalue인 것이다.